Préparation au concours 2011

bonjour,
J'ai commencé le 1er exercice :

1. 11 | x donc d_x = 11k or d_x = a - b + c donc a - b + c = 11k
or d_x' = a - b + c donc d_x = d_x' et donc d_x' = 11k. D'ou 11 | x'
Conclusion 11 | x et 11 | x' donc 11 | x + x'

On a 11 | x + x' donc 11 | d_x + d_x' donc 11 | a - b + c + a - b + c donc 11 | 2a - 2b + 2c donc 11 | 2(a - b + c)
or 11 et 2 sont premiers entre eux. Donc 11 | a - b + c et puisque a - b + c = d_x donc 11 | x

Colusion 11 | x <=> 11 | x + x'

2. abc + cba = 605 donc a + c = 5 ou a + c = 15 car 0 < a + c < 19
Si a + c = 15 , on aura alors :

abc + cba = 101a + 101c + 20b = 101(a+c) + 20b = 1515 + 20 b > 605
C'est impossible.

Si a + c = 5, on aura alors :
abc + cba = 101(a+c) + 20b = 505 + 20b
Or abc + cba = 605
donc 505 + 20b = 605
donc b = 5

On a aussi a - b + c = 11k avec k = 0 ou k = 11 car -9 < a - b + c < 19

Pour k = 11, a + c = 16 ( Même méthode qu'en haut, on trouve qu'il n'y a pas de solution )

Pour k = 0 , a + c = b donc a + c = 5
Donc a = 4 et c = 1 , ou a = 3 et c = 2 ou c = 3 et a = 2 ou c = 4 et a = 1 ou c = 0 et a = 5

Donc les solutions sont : 451 et 154 , 352 et 253 , 550 et 055

Ps : cba est un entier à 3 chiffres, donc j'étais pas sur si c = 0 peut être correcte.

BONJOUR Xploze

Le programme de 2ème année ne contient pas LEMME DE GAUSS :

or 11 et 2 sont premiers entre eux. Donc 11 | a - b + c

Essayer sans l'utiliser.

Pour les réponses sont exactes , sauf 055 à rejeter car contient 2 chiffre

On a 11 | x + x' donc 11 | dx + dx' donc 11 | a - b + c + a - b + c donc 11 | 2a - 2b + 2c donc 11 | 2(a - b + c)
Donc 2(a - b + c) = 11k. On peut déduire que k est pair et donc k = 2p.
On a alors : 2(a - b + c) = 11 x 2p donc (a - b + c) = 11p et puisque a - b + c = dx donc 11 | x

bonjour
c'est ça.

Bonjour,
Pour l'exercice n°4 :
1. Dans le triangle ICB, (IB) // (AD). Donc d'après Thalès :
IC/AC = BC/CD <=> (AC+AI)/AC = (CD+DB)/CD <=> 1 + AI/AC = 1+ DB/CD <=> AI/AC = DB/CD
Or on a , BÂD et ABI sont deux angles alternes-internes. Donc BÂD = ABI
CÂD et AIB sont deux angles correspondants. Donc CÂD = AIB
et puisque BÂD = CÂD, AIB = ABI et donc le triangle ABI est isocèle en A et donc AI = AB
On peut conclure que : AI/AC = DB/CD <=> AB/AC = DB/CD

2. Soit H le milieu de [IB] donc BH = AB.cos(Â/2) et puisque BI = 2BH, BI = 2AB.cos(Â/2)
Aussi, dans le triangle IBC, (IB) // (AD). Donc d'après Thalès :
IC/AC = IB/AD <=> AD = (IB.AC)/IC et puisque IC = AC + IA = b+c, on a alors :
AD = [2bc.cos(Â/2)]/(b+c)

Bonjour Xploze

Excellent,

Merci =)

Bonjour,
Pour l'exercice 3 :
U₁ = f(U₀) = f(1) = f(f(0))
et puisque 3f(0) - 2f(f(0)) = 0 , U₁ = 3/2 et V₁ = 1/2

De même , U₂ = 7/4 et V₁ = 1/4

2. Pour x = U_n, on a :
3U_n+1 - 2_n+2 = U_n éq U_n+2 - U_n+1 = 2U_n+1 - U_n - U_n+2

Mais, V_n+1 = U_n+2 - U_n+1
donc V_n+1 = 2U_n+1 - U_n - U_n+2

Aussi , U_n+2 = 1/2(3U_n+1 - U_n)
Donc V_n+1 = 2U_n+1 - U_n - 1/2(3U_n+1 - U_n)
éq V_n+1 = 1/2 [ 4U_n+1 - 2U_n - 3U_n+1 + U_n ]
éq V_n+1 = 1/2 ( U_n+1 - U_n)
éq V_n+1 = 1/2 V_n
(V_n) est donc une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme 1/2

3. On a : v₀ + v₁ + ... + v_n-1 = u_n - u₀ + u₁
donc 2 [1- (1/2)ⁿ] = u_n + 3/2
donc u_n = 1/2 - (1/2)^n-1

Salut
Pour question 3°) faut de calcul
voici la correction
On a : v₀ + v₁ + ... + v_n-1 = u_n - u₀
donc [1- (1/2)ⁿ] = u_n -1
donc u_n = 2 - (1/2)ⁿ

A part la faute de calcul, tout est correct ?

AKIR ALI a écrit:Salut
Pour question 3°) faut de calcul
voici la correction
On a : v₀ + v₁ + ... + v_n-1 = u_n - u₀
donc [1- (1/2)ⁿ] = u_n -1
donc u_n = 2 - (1/2)ⁿ

Ce n'est pas plutôt : 2 [1- (1/2)ⁿ] = u_n -1 ?