Préparation au concours 2011

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Préparation au concours 2011

Message  AKIR ALI le Lun 15 Fév - 18:19



Dernière édition par AKIR ALI le Dim 7 Mar - 13:45, édité 3 fois
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Re: Préparation au concours 2011

Message  XpLoze le Lun 22 Fév - 14:42

bonjour,
J'ai commencé le 1er exercice :

1. 11 | x donc dx = 11k or dx = a - b + c donc a - b + c = 11k
or dx' = a - b + c donc dx = dx' et donc dx' = 11k. D'ou 11 | x'
Conclusion 11 | x et 11 | x' donc 11 | x + x'

On a 11 | x + x' donc 11 | dx + dx' donc 11 | a - b + c + a - b + c donc 11 | 2a - 2b + 2c donc 11 | 2(a - b + c)
or 11 et 2 sont premiers entre eux. Donc 11 | a - b + c et puisque a - b + c = dx donc 11 | x

Colusion 11 | x <=> 11 | x + x'

2. abc + cba = 605 donc a + c = 5 ou a + c = 15 car 0 < a + c < 19
Si a + c = 15 , on aura alors :

abc + cba = 101a + 101c + 20b = 101(a+c) + 20b = 1515 + 20 b > 605
C'est impossible.

Si a + c = 5, on aura alors :
abc + cba = 101(a+c) + 20b = 505 + 20b
Or abc + cba = 605
donc 505 + 20b = 605
donc b = 5

On a aussi a - b + c = 11k avec k = 0 ou k = 11 car -9 < a - b + c < 19

Pour k = 11, a + c = 16 ( Même méthode qu'en haut, on trouve qu'il n'y a pas de solution )

Pour k = 0 , a + c = b donc a + c = 5
Donc a = 4 et c = 1 , ou a = 3 et c = 2 ou c = 3 et a = 2 ou c = 4 et a = 1 ou c = 0 et a = 5

Donc les solutions sont : 451 et 154 , 352 et 253 , 550 et 055

Ps : cba est un entier à 3 chiffres, donc j'étais pas sur si c = 0 peut être correcte.

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Message  AKIR ALI le Mer 24 Fév - 10:49

BONJOUR Xploze

Le programme de 2ème année ne contient pas LEMME DE GAUSS :

or 11 et 2 sont premiers entre eux. Donc 11 | a - b + c


Essayer sans l'utiliser.

Pour les réponses sont exactes , sauf 055 à rejeter car contient 2 chiffre Very Happy
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Re: Préparation au concours 2011

Message  XpLoze le Mer 24 Fév - 23:11

On a 11 | x + x' donc 11 | dx + dx' donc 11 | a - b + c + a - b + c donc 11 | 2a - 2b + 2c donc 11 | 2(a - b + c)
Donc 2(a - b + c) = 11k. On peut déduire que k est pair et donc k = 2p.
On a alors : 2(a - b + c) = 11 x 2p donc (a - b + c) = 11p et puisque a - b + c = dx donc 11 | x

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Message  AKIR ALI le Jeu 25 Fév - 10:05

bonjour
c'est ça. Very Happy
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Re: Préparation au concours 2011

Message  XpLoze le Ven 26 Fév - 20:52

Bonjour,
Pour l'exercice n°4 :
1. Dans le triangle ICB, (IB) // (AD). Donc d'après Thalès :
IC/AC = BC/CD <=> (AC+AI)/AC = (CD+DB)/CD <=> 1 + AI/AC = 1+ DB/CD <=> AI/AC = DB/CD
Or on a , BÂD et ABI sont deux angles alternes-internes. Donc BÂD = ABI
CÂD et AIB sont deux angles correspondants. Donc CÂD = AIB
et puisque BÂD = CÂD, AIB = ABI et donc le triangle ABI est isocèle en A et donc AI = AB
On peut conclure que : AI/AC = DB/CD <=> AB/AC = DB/CD

2. Soit H le milieu de [IB] donc BH = AB.cos(Â/2) et puisque BI = 2BH, BI = 2AB.cos(Â/2)
Aussi, dans le triangle IBC, (IB) // (AD). Donc d'après Thalès :
IC/AC = IB/AD <=> AD = (IB.AC)/IC et puisque IC = AC + IA = b+c, on a alors :
AD = [2bc.cos(Â/2)]/(b+c)

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Message  AKIR ALI le Sam 27 Fév - 14:47

Bonjour Xploze

Excellent, Very Happy Very Happy Very Happy
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Re: Préparation au concours 2011

Message  XpLoze le Sam 27 Fév - 14:54

Merci =)

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Re: Préparation au concours 2011

Message  XpLoze le Dim 7 Mar - 19:46

Bonjour,
Pour l'exercice 3 :
U1 = f(U0) = f(1) = f(f(0))
et puisque 3f(0) - 2f(f(0)) = 0 , U1 = 3/2 et V1 = 1/2

De même , U2 = 7/4 et V1 = 1/4

2. Pour x = Un, on a :
3Un+1 - 2n+2 = Un éq Un+2 - Un+1 = 2Un+1 - Un - Un+2

Mais, Vn+1 = Un+2 - Un+1
donc Vn+1 = 2Un+1 - Un - Un+2

Aussi , Un+2 = 1/2(3Un+1 - Un)
Donc Vn+1 = 2Un+1 - Un - 1/2(3Un+1 - Un)
éq Vn+1 = 1/2 [ 4Un+1 - 2Un - 3Un+1 + Un ]
éq Vn+1 = 1/2 ( Un+1 - Un)
éq Vn+1 = 1/2 Vn
(Vn) est donc une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme 1/2

3. On a : v0 + v1 + ... + vn-1 = un - u0 + u1
donc 2 [1- (1/2)n] = un + 3/2
donc un = 1/2 - (1/2)n-1

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Message  AKIR ALI le Lun 8 Mar - 14:14

Salut
Pour question 3°) faut de calcul
voici la correction
On a : v0 + v1 + ... + vn-1 = un - u0
donc [1- (1/2)n] = un -1
donc un = 2 - (1/2)n

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Re: Préparation au concours 2011

Message  XpLoze le Lun 8 Mar - 19:40

A part la faute de calcul, tout est correct ?

XpLoze

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Re: Préparation au concours 2011

Message  XpLoze le Lun 8 Mar - 22:26

AKIR ALI a écrit:Salut
Pour question 3°) faut de calcul
voici la correction
On a : v0 + v1 + ... + vn-1 = un - u0
donc [1- (1/2)n] = un -1
donc un = 2 - (1/2)n


Ce n'est pas plutôt : 2 [1- (1/2)n] = un -1 ?

XpLoze

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Message  AKIR ALI le Mar 9 Mar - 10:48


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