Exercice n°1 (géometrie)

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Bonjour,
1. Posons x = l'angle ACB
et y = l'angle CBD

On a 2x + y = pi et x = 2y
donc 4y + y = pi donc y = pi/5 et donc CBD = pi/5
Aussi, ABC = 2CBD donc ABC = 2pi/5
et puisque BAC + ABC + ACB = pi , BAC = pi - 2ABC donc BAC = pi - 4pi/5 et donc BAC = pi/5

2. BAC = ABD = DBC = pi/5 ACB = ABC = BDC = 2pi/5 ADB = 3pi/5

3. On sait que [BD) est la bissectrice de ABC et D appartient à AC.
Soit (D') la droite parallèle à (BD) passant par C, elle coupe (AB) en I.
Dans le triangle ACI , on a (BD) // (IC)
D'après Thalès : AI/AB = AC/AD donc (AB+BI)/AB = (AD+DC)/AD donc 1 + BI/AB = 1 + DC/AD donc BI/AB = DC/AD
Aussi, on a BCI = CBD car ils sont deux angles alternes-internes
et ABD = AIC car ils sont deux angles correspondants.
Mais, CBD = ABD donc AIC = BCI et puisque B appartient à [AI], BIC = BCI donc le triangle BCI est isocèle en B et donc BC = BI
On a alors : BI/AB = DC/AD éq AB/BI = AD/DC éq AB/BC = AD/DC
Montrons maintenant que AD = BC.

On a ABD = BAD donc le triangle ABD est isocèle en D. et donc AD = BD. Mais BD = BC car le triangle BDC est isocèle en B.
On a donc : AD = BC
Conclusion
AB/BC = AD/DC éq AB/BC = BC/DC

4. On a :
AB/BC = BC/DC
Avec BC = 1, AB.DC = 1 donc AB.(AC - AD) = 1 donc AB.(AB - 1 ) = 1 donc AB² - AB - 1 = 0
delta = b² - 4ac = 1 + 4 = 5
donc x₁ = (1-[racine 5] ) / 2 et x₂ = (1+[racine 5] ) / 2
Mais x₁< 0 car 1 < racine 5
et x₂ > 0 donc AB = (1+[racine 5] ) / 2

5. Soit [DH] la hauteur issue de D dans le triangle ADB. H coupe [AC]
On a alors HDB est un triangle rectangle dans H.
cos(DBH) = BH/DB mais H est le milieu de [AB] donc 2BH = AB et aussi BD = BC = 1
Donc cos(pi/5) = AB/2DB donc cos(pi/5) = (1+[racine 5] ) / 4

Chapeau