carré parfait
3 participants
Page 1 sur 1
carré parfait
Bonjour,
Je suis bloqué sur cet exercice. Aidez moi s'il vous plait
Soient n > 1 et p un entier premier tel que n | p - 1 et p | n3 - 1. Prouver que 4p - 3 est un carré.
Trouver s'il existe
Je suis bloqué sur cet exercice. Aidez moi s'il vous plait
Soient n > 1 et p un entier premier tel que n | p - 1 et p | n3 - 1. Prouver que 4p - 3 est un carré.
Trouver s'il existe
amateur- Messages : 1
Date d'inscription : 05/03/2010
Age : 33
Localisation : Tunisie
Re: carré parfait
i. on a : p| n3 - 1 donc p | (n-1) ( n²+n+1)
donc p | n - 1 ou p | n² + n + 1
Si p | n - 1, on aura alors :
p | n - 1 et n | p - 1
donc p <(ou égal) n -1
n <(ou égal) p - 1 <(ou égal) n - 2
et donc n <(ou égal) n - 2. C'est impossible.
Donc on déduit que : p | n² + n + 1.
ii. Supposons que n² + n + 1 = 0
delta = b² - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0 donc n² + n + 1 n'est pas factorisable. et donc c'est un entier premier et puisque p est premier,
on conclut donc que p = n² + n + 1
iii. p = n² + n + 1 donc 4p = 4n² + 4n + 4 donc 4p - 3 = 4n² + 4n + 1 et donc 4p - 3 = (2n + 1)²
donc p | n - 1 ou p | n² + n + 1
Si p | n - 1, on aura alors :
p | n - 1 et n | p - 1
donc p <(ou égal) n -1
n <(ou égal) p - 1 <(ou égal) n - 2
et donc n <(ou égal) n - 2. C'est impossible.
Donc on déduit que : p | n² + n + 1.
ii. Supposons que n² + n + 1 = 0
delta = b² - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0 donc n² + n + 1 n'est pas factorisable. et donc c'est un entier premier et puisque p est premier,
on conclut donc que p = n² + n + 1
iii. p = n² + n + 1 donc 4p = 4n² + 4n + 4 donc 4p - 3 = 4n² + 4n + 1 et donc 4p - 3 = (2n + 1)²
XpLoze- Messages : 60
Date d'inscription : 01/02/2010
Réponse
ii. n²+n+1 est un entier premier????
Attention delta négative n'applique pas que le polynôme est un entier premier.
Attention delta négative n'applique pas que le polynôme est un entier premier.
Re: carré parfait
delta négative ne veut pas dire que n² + n + 1 n'est pas factorisable ?
XpLoze- Messages : 60
Date d'inscription : 01/02/2010
Réponse
Oui.
mais , on ne peut conclure que P est premier
Contre exemple : P=n²+n+2 , delta négative mais P est pair
mais , on ne peut conclure que P est premier
Contre exemple : P=n²+n+2 , delta négative mais P est pair
Re: carré parfait
On a n² + n + 1 = pk et p - 1 = nk'
Mais n | p - 1 donc k'(p - 1 ) = n
Mais n | p - 1 donc k'(p - 1 ) = n
XpLoze- Messages : 60
Date d'inscription : 01/02/2010
Page 1 sur 1
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
|
|