carré parfait

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carré parfait

Message  amateur le Ven 5 Mar - 21:02

Bonjour,
Je suis bloqué sur cet exercice. Aidez moi s'il vous plait

Soient n > 1 et p un entier premier tel que n | p - 1 et p | n3 - 1. Prouver que 4p - 3 est un carré.
Trouver s'il existe

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Message  AKIR ALI le Sam 6 Mar - 12:53

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Re: carré parfait

Message  XpLoze le Sam 6 Mar - 14:11

i. on a : p| n3 - 1 donc p | (n-1) ( n²+n+1)
donc p | n - 1 ou p | n² + n + 1

Si p | n - 1, on aura alors :
p | n - 1 et n | p - 1
donc p <(ou égal) n -1
n <(ou égal) p - 1 <(ou égal) n - 2
et donc n <(ou égal) n - 2. C'est impossible.

Donc on déduit que : p | n² + n + 1.

ii. Supposons que n² + n + 1 = 0
delta = b² - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0 donc n² + n + 1 n'est pas factorisable. et donc c'est un entier premier et puisque p est premier,
on conclut donc que p = n² + n + 1

iii. p = n² + n + 1 donc 4p = 4n² + 4n + 4 donc 4p - 3 = 4n² + 4n + 1 et donc 4p - 3 = (2n + 1)²

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Message  AKIR ALI le Sam 6 Mar - 14:22

ii. n²+n+1 est un entier premier????
Attention delta négative n'applique pas que le polynôme est un entier premier.
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Re: carré parfait

Message  XpLoze le Sam 6 Mar - 14:24

delta négative ne veut pas dire que n² + n + 1 n'est pas factorisable ?

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Message  AKIR ALI le Sam 6 Mar - 14:27

Oui.
mais , on ne peut conclure que P est premier
Contre exemple : P=n²+n+2 , delta négative mais P est pair
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Re: carré parfait

Message  XpLoze le Sam 6 Mar - 14:38

Comment faire alors ?

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Message  AKIR ALI le Sam 6 Mar - 14:41



Dernière édition par AKIR ALI le Dim 7 Mar - 11:05, édité 1 fois
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Re: carré parfait

Message  XpLoze le Sam 6 Mar - 14:49

On a n² + n + 1 = pk et p - 1 = nk'

Mais n | p - 1 donc k'(p - 1 ) = n

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Message  AKIR ALI le Sam 6 Mar - 14:52

a divise b équivaut à b= ak ( non a = bk)
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Re: carré parfait

Message  XpLoze le Sam 6 Mar - 14:55

Faute impardonnable.
Excusez moi.

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Re: carré parfait

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