Suite arithmétique

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Suite arithmétique

Message  XpLoze le Sam 27 Fév - 20:08

Bonjour,

Soit (Un) la suite réelle définie par :
U0 = 1 et un+1 = Un/2 + n + 5/2
Montrer que (Un) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme

Voila comment j'ai fait :
U1 = 3, U2 = 5.
On peut donc conjecturer que Un peut être arithmétique de raison 2.
Montrons le :
Supposons que Un est arithmétique de raison 2 et de 1er terme 1, on a alors Un = 2n + 1
et donc Un+1 = (2n+1)/2 + n + 5/2
Après simplification, on trouve, Un = 2(n+1) + 1

Ce qui prouve que (Un) est une suite arithmétique de raison 2.

Mais je crois que c'est une démonstration par récurrence, et ce n'est pas dans notre programme.
S'il y a bien une autre méthode, je serais ravis qu'on me la montre

XpLoze

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Message  AKIR ALI le Lun 1 Mar - 9:50

Bonjour ,
Oui, la récurrence est hors programme pour les classes de 2ème année: voici la solution :
U0 = 1 et Un+1 = Un/2 + n + 5/2
U1 = 3, U2 = 5. on conjecture que Un =2n+1
Soit Vn= Un - 2n-1 alors Vn+1 = Un/2 + n + 5/2 - 2n -3 =( 1/2)(Un - 2n-1 )=(1/2)Vn

Alors Vn est une suite géométrique de raison q = 1/2 et 1ère terme : V0 = U0 - 0 -1 = 1-1=0

Alors Vn = 0 -----> Un = 2n+1 Smile
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Re: Suite arithmétique

Message  XpLoze le Lun 1 Mar - 10:38

Je croyais que les suites auxiliaires étaient hors programme

XpLoze

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Message  AKIR ALI le Lun 1 Mar - 11:19

Bonjour
Les suites auxiliaires sont des utiles pour trouver le terme générale d'une suite ,ne sont pas des formules.
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Re: Suite arithmétique

Message  XpLoze le Lun 1 Mar - 11:21

D'accord. Merci Smile

XpLoze

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Re: Suite arithmétique

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